Calcule:

b )   ∫ tan ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

Para essa questão vamos ter que relembrar algumas definições trigonométricas, e apenas com estas definições é possível identificar uma substituição simples que permite resolver a nossa integração! Saca só!

Passo 2

Para começar essa questão vamos lembrar que sec ⁡ ( x ) = 1 / cos ⁡ ( x ) , de forma que possamos escrever:

∫ tan ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x = ∫ tan ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) 1 / cos ⁡ ( x ) d x

Como temos que tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ x / cos ⁡ ( x ) , nosso integrando é bastante simplificado por essa identificação, saca só!

Passo 3

Temos que:

∫ tan ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) 1 / cos ⁡ ( x ) d x = ∫ sin ⁡ ( x ) d x + ∫ sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x

A primeira integral pode ser resolvida identificando a primitiva como:

∫ sin ⁡ ( x ) = - cos ⁡ x + C

Vamos resolver agora a segunda!!

Passo 4

Para esta vamos fazer a substituição u = sin ⁡ ( x ) e d u = cos ⁡ ( x ) d x , de forma que:

∫ sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = ∫ u d u

Que pode ser resolvida da seguinte maneira:

∫ u d u = u 1 + 1 1 + 1 + C = u 2 2 + C

Vamos escrever nosso resultado final!

Passo 5

Jogando ambas as integrais que calculamos dentro de nossa integral original, temos:

∫ sin ⁡ ( x ) d x + ∫ sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = - cos ⁡ x + u 2 2 + C

Em nossas variáveis originais, temos que:

∫ tan ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x = cos 2 ⁡ x 2 - cos ⁡ x + C

Mais uma alternativa resolvida! Bora para a próxima!!

Resposta

∫ tan ⁡ ( x ) + sin ⁡ ( x ) sec ⁡ ( x ) d x = cos 2 ⁡ x 2 - cos ⁡ x + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x