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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Integração por Substituição

b Considere f : 0 , a → R contínua definida pelo gráfico abaixo e h : 0 , a 3 → R definida por h x = f 3 x . Mostre que A r e a A 1 = 3 A r e a A 2 .

( f i g u r a   r e t i r a d a   d a   p r o v a )

Passo 1

Vamos começar levando em conta o seguinte, pelos desenhos da figura:

∫ 0 a f x d x = A 1

∫ 0 a 3 h x d x = A 2

Sabemos ainda que o h x = f 3 x .

Digamos que a primitiva de f x é a função F x . Com isso, poderíamos dizer o seguinte:

∫ 0 a f x d x = F a - F 0 =   A 1

Ok, esse seria o processo de integração de f .

Passo 2

Agora, se a gente quisesse integrar a outra função, a h x = f 3 x ? Bom, nós poderíamos fazê-la com a ajuda de uma substituiçãozinha que simplifica muito:

∫ 0 a 3 h x d x = ∫ 0 a 3 f 3 x d x

u = 3 x → d u = 3 d x ;   d x = d u 3

x i n f = 0 → u i n f = 3 0 = 0

x s u p = a 3 → u i n f = 3 a 3 = a

Ou seja, ficamos com o seguinte:

∫ 0 a 3 f 3 x d x = ∫ 0 a f u d u 3

= F a - F 0 3 = A 1 3

Como a integral que fazemos gera a área A 2 , certificamos que:

A 2 = A 1 3

Resposta

A 2 = A 1 3

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
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