Determine a antiderivada de ((x^3 + x)^5)(3x^2 + 1) .

Passo 1

A antiderivada é simplesmente a integral indefinida da função. Ou seja, queremos calcular:

∫ x 3 + x 5 ( 3 x 2 + 1 )   d x  

Abrir aquele polinômio elevado a 5 pode dar bastante trabalho, então vamos procurar um caminho melhor. Talvez uma substituição:

u = x 3 + x

d u d x = 3 x 2 + 1         ⇒           d x = d u 3 x 2 + 1

Parece bom! Vamos colocar isso na integral:

∫ u 5 3 x 2 + 1 d u 3 x 2 + 1 = ∫ u 5   d u

Passo 2

Ótimo, agora é só resolver essa integral simples de um polinômio:

∫ u 5   d u = u 6 6 + C

E agora colocamos o u de volta:

u 6 6 + C = x 3 + x 6 6 + C

Pronto! Esse é a antiderivada da função.

Resposta

A antiderivada é: x 3 + x 6 6 + C .

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