Determine a integral indefinida abaixo.
Passo 1
Não dá para tirar essa integral por nenhuma primitiva fundamental, da mesma maneira, a derivada do denominador é:
E não , como está no numerador. Assim, não dá para substituir de cara. O que a gente pode fazer então?
Passo 2
Acabamos de ver que a diferença entre o numerador e a derivada no denominador é . Se adicionarmos e removermos do numerador, dá para chegarmos na derivada e podemos fazer uma substituição. Vamos fazer isso então e separar a integral em duas:
Vamos agora tratar cada integral separadamente.
Passo 3
Para a primeira integral, como manipulamos, dá para fazer a substituição:
Ficando:
Não esqueça que é ln do módulo e que temos que voltar para ao final.
Passo 4
Agora, para a segunda integral, podemos simplificar um pouco o numerador com o denominador, deixando o em evidência:
Veja agora que o numerador tem valor próximo da derivada do denominador. Aqui calhou da substituição ser sempre em cima do denominador, mas isso não é verdade sempre!
A diferença é que temos no numerador, ao invés de como desejado. Mas podemos resolver isso multiplicando e dividindo por :
Agora sim:
Substituindo:
Passo 5
Agora juntamos os valores achados, e, considerando :
Caso você tenha ficado intrigado, pois o resultado não está como o gabarito da questão. Dá ainda para dar uma ajeitada nisso aí. Usando
Como para todo . Então
Da mesma forma:
Assim:
Como sugere o gabarito. De qualquer forma, você poderia ter parado no primeiro resultado final encontrado, sem a necessidade vir até aqui.