Encontre a expressão que define a função f , cujo gráfico contém o ponto (4, 5 / 3) e cuja derivada é

f'(x) = raiz(x)(2 raiz(x) - 1)

Passo 1

Basicamente, a questão quer que achemos a função que gerou a derivada f ' . Ou seja, ela quer a primitiva de f ' e isso pode ser obtido fazendo uma integração. Olha só:

∫ x ( 2 x - 1 )   d x

Como vamos resolver isso?

Podemos fazer a substituição

u = x ⟶ x = u ²

d u = d x 2 x ⟶ d x = 2 x d u = 2 u   d u

Então

∫ u 2 u - 1 ( - 2 u )   d u  

2 ∫ u ² 2 u - 1 d u

2 ∫ 2 u 3 - u 2 d u = 2 2 u 4 4 - u 3 3 + C = u 4 - 2 u 3 3 + C

Voltando para a variável original

x 4 - 2 x 3 3 + C = x 2 - 2 x 3 2 3 + C

Como o enunciado nos deu o ponto 4 , 5 3 pelo qual a função encontrada passa, podemos descobrir o valor de C substituindo esse ponto.

5 3 = 4 2 - 2 . 4 3 2 3 + C

C = 5 3 - 32 3 = - 27 3 = - 9

Portanto, a expressão que define a função f , cujo gráfico contém o ponto 4 , 5 3 é

f x = x 2 - 2 x 3 2 3 - 9

Resposta

f x = x 2 - 2 x 3 2 3 - 9

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