Encontre a integral indefinida

b. ∫ u 2 e u 3 d u

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ u 2 e u 3 d u

A primeira coisa que temos que notar, para evitar confusões, é que a nossa variável não é x e sim u. Isso não é problema, pois o que nos interessa é realizar a substituição da variável dentro da integral.

Assim, se tomarmos a = u 3 teremos

d a = 3 u 2 d u

⇒ 1 3 ∙ d a = u 2 d u

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ u 2 e u 3 d u = ∫ e a 1 3 d a

= 1 3 ∫ e a d a

= 1 3 e a

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original u. Logo,

1 3 e a = 1 3 e u 3

E,

∫ u 2 e u 3 d u = 1 3 e u 3 + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso e com simplicidade. Poje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

b. ∫ u 2 e u 3 d u = 1 3 e u 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
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