Encontre a integral indefinida

c. ∫ 1 5 - 3 x d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ 1 5 - 3 x d x

Aqui, se tomarmos u = 5 - 3 x teremos

d u = - 3 ∙ d x

⇒ - 1 3 ∙ d u = d x

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ 1 5 - 3 x d x = ∫ 1 u ∙ - 1 3 d u

= - 1 3 ∫ 1 u d u

Aqui vamos recorrer a uma integral já conhecida e presente em várias tabelas de integrais, que é

∫ 1 x d x = l n | x |

Logo,

- 1 3 ∫ 1 u d u = - 1 3 ∙ l n | u |

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original x. Logo,

- 1 3 ∙ l n l n   u   = - 1 3 ∙ l n | 5 - 3 x |

E,

∫ 1 5 - 3 x d x = - 1 3 ∙ l n | 5 - 3 x | + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso e com simplicidade. Hoje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

c. ∫ 1 5 - 3 x d x = - 1 3 ∙ l n | 5 - 3 x | + C

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