Encontre a integral indefinida

d. ∫ u ∙ 1 - u 2   d u

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ u ∙ 1 - u 2   d u   A primeira coisa que temos que notar, para evitar confusões, é que a nossa variável não é x e sim u. Isso não é problema, pois o que nos interessa é realizar a substituição da variável dentro da integral.

Assim, se tomarmos a = 1 - u 2 teremos

d a = - 2 u d u

⇒ - 1 2 ∙ d a = u d u

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ u ∙ 1 - u 2   d u = ∫ - 1 2 ∙ a   d a

= - 1 2 ∫ a d a

= - 1 2 ∫ a 1 2 d a

= - 1 2 ∙ a 3 2 3 2

= - 1 2 ∙ 2 3 ∙ a 3 2

= - 1 3 a 3 = - 1 3 a a

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original u. Logo,

- 1 3 a a = - 1 3 ( 1 - u 2 ) 1 - u 2

E,

∫ u ∙ 1 - u 2   d u = - 1 3 ( 1 - u 2 ) 1 - u 2 + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso e com simplicidade. Poje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

d. ∫ u ∙ 1 - u 2   d u = - 1 3 ( 1 - u 2 ) 1 - u 2 + C

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