Encontre a integral indefinida

e. ∫ c o s c o s   x   e s e n x d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ c o s c o s   x   e s e n x d x

Aqui, se fizermos u = s e n ( x ) teremos

d u = c o s c o s   x   ∙ d x

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ c o s c o s   x   e s e n x d x = ∫ e u d u

= e u

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original x. Logo,

e u = e s e n x

E,

∫ c o s c o s   x   e s e n x d x = e s e n x + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso e com simplicidade. Poje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

c. ∫ c o s c o s   x   e s e n x d x = e s e n x + C

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