Encontre a integral indefinida

g. ∫ x 1 + x 4 d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ x 1 + x 4 d x

Aqui, precisaremos usar um pouco mais a imaginação e visualizarmos o seguinte triângulo

Com essa imagem, podemos assumir que t g θ = x 2 . Logo,

t g θ ' = x 2 '

⇒ θ   d θ = 2 x d x

⇒ θ   d θ 2 = x d x

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ x 1 + x 4 d x = ∫ θ   d θ 1 + t g 2 θ ∙ 2

= 1 2 ∫ θ   d θ 1 + t g 2 θ

Aqui temos uma integral que aparenta ser complicada. Mas ela se torna muito mais simples se usarmos a identidade trigonométrica fundamental, em uma versão diferente, que é

1 + t g 2 θ = ( θ )  

Logo,

1 2 ∫ θ   d θ 1 + t g 2 θ = 1 2 ∫ θ   d θ θ  

= 1 2 ∫ d θ

= θ 2

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original x. Logo,

t g θ = x 2

⇒ θ = a r c t g ( x 2 )

E,

∫ x 1 + x 4 d x = a r c t g x 2 2 + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso, com simplicidade e um pouco de criatividade. Poje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

c. ∫ x 1 + x 4 d x = a r c t g x 2 2 + C

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