Encontre a integral indefinida

h. ∫ e z + 1 e z + z d z

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos estudar a Técnica da Substituição para integrais simples.

De início essa técnica pode parecer um pouco confusa, mas aqui iremos torna-la descomplicada.

Essa técnica é indicada para integrais que estejam na seguinte forma

∫ f g x ∙ g ' x d x

Ou seja, dentro da integral existe uma função e também a sua derivada.

Aqui nós substituímos g(x) pela variável u, e obtemos o diferencial de u (du) da seguinte forma

u = g x

⇒ d u = g ' x d x

Logo

∫ f g x ∙ g ' x d x = ∫ f u d u

= F u

= F g x + C

Onde F(x) é a função primitiva. E, claro, não esqueceremos de botar a constante C ao final da expressão para indicar que a primitiva está na sua forma generalizada e que C pode ser qualquer valor real.

Para deixar mais claro como devemos usar essa técnica vamos resolver a questão.

Passo 2

Vamos para a integral

∫ e z + 1 e z + z d z

A primeira coisa que temos que notar, para evitar confusões, é que a nossa variável não é x e sim z. Isso não é problema, pois o que nos interessa é realizar a substituição da variável dentro da integral.

Assim, se tomarmos u = e z + z , teremos

d u = ( e z + 1 ) d z

Passo 3

Agora, fazemos nossa substituição dentro da integral. Assim,

∫ e z + 1 e z + z d z = ∫ 1 u d u

Aqui vamos recorrer a uma integral já conhecida e presente em várias tabelas de integrais, que é

∫ 1 x d x = l n | x |

Logo,

∫ 1 u d u = l n | u |

Passo 4

Por fim, retornamos à nossa variável original u. Logo,

l n | u | = l n | e z + z |

E,

∫ e z + 1 e z + z d z = l n | e z + z | + C

Pronto!! Técnica da substituição aplicada com sucesso e com simplicidade. Poje é isso pessoal, até a próxima😁😉

Resposta

h. ∫ e z + 1 e z + z d z = l n | e z + z | + C

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