Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado L e cuja altura é h .

Para isso, vamos considerar um plano paralelo à base da pirâmide que divide a pirâmide em duas partes: uma parte superior que é a própria pirâmide, e uma parte inferior que é um tronco de pirâmide.

Vamos variar a altura desse plano de 0 até h , e em cada altura x , a seção transversal do tronco de pirâmide é um quadrado semelhante a base da pirâmide, com lado l x .

E aí, bora lá?

😉

Passo 2

Então... O valor de l x ​ varia de acordo com a altura x , seguindo uma relação proporcional entre as semelhanças dos triângulos formados pelas partes da pirâmide. Assim, temos:

l x L = x h ∴

l x = x h * L

Nesse sentido, temos que a área da seção transversal A em altura x é:

A x = l x 2 ∴

A x = x h * L 2

Passo 3

Agora podemos usar a integral definida para somar as áreas das seções transversais à medida que aumentamos a altura de 0 até h :

V = ∫ 0 h A x d x ∴

Substituindo A x , temos:

V = ∫ 0 h x h * L 2 d x ∴

V = L 2 h 2 ∫ 0 h x 2 d x ∴

Resolvendo a integral pela regra da potência, obtemos:

V = L 2 h 2 x 3 3 h 0   ∴

Por fim, aplicando os limites de integração, temos que o volume V da pirâmide é dado por:

V = L 2 h 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

V = L 2 h 3

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