USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 2, Questão 5.2
Encontre o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado e cuja altura é .
Passo 1
Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que a gente calcule o volume de uma pirâmide cuja base é o quadrado de lado e cuja altura é .
Para isso, vamos considerar um plano paralelo à base da pirâmide que divide a pirâmide em duas partes: uma parte superior que é a própria pirâmide, e uma parte inferior que é um tronco de pirâmide.
Vamos variar a altura desse plano de até , e em cada altura , a seção transversal do tronco de pirâmide é um quadrado semelhante a base da pirâmide, com lado .
E aí, bora lá?
😉
Passo 2
Então... O valor de varia de acordo com a altura , seguindo uma relação proporcional entre as semelhanças dos triângulos formados pelas partes da pirâmide. Assim, temos:
Nesse sentido, temos que a área da seção transversal em altura é:
Passo 3
Agora podemos usar a integral definida para somar as áreas das seções transversais à medida que aumentamos a altura de até :
Substituindo , temos:
Resolvendo a integral pela regra da potência, obtemos:
Por fim, aplicando os limites de integração, temos que o volume da pirâmide é dado por:
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
