Nos exercícios a , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.
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Passo 1
Bem, nesse tipo de integral é sempre bom pensarmos em como podemos eliminar essa raiz que está nos complicando.
Uma saída é se realizarmos uma substituição mais avançada daquela que estamos acostumados:
Bem se substituíssemos o termo por
Repare que a raiz quadrada desaparece
Sacou?
Passo 2
Beleza, então antes de trocarmos na integral, calculemos o para trocarmos também...
Como queremos o em termos de , troquemos ...
Trocando...
Essa integral é bem mais elegante, não é mesmo? Mas ainda não sai de uma forma direta! Então venha comigo nessa aventura ;)
Passo 3
Como o denominador e o nominador são muito parecidos, podemos usar o truque de adiciona e tira do nominador para simplificar ainda mais!
A primeira integral já sai direta...
A segunda, como conseguimos separar em ...
Podemos pensar em uma integração por partes.
Passo 4
Nesse tipo de integração, o que devemos fazer é separar a fração em uma soma de outras duas mais simples:
Onde o que temos que fazer basicamente é encontra o valor real de e que torna essa igualdade verdadeira. Podemos começar tirando o dessa soma, lembrando que o no caso é sempre o produto dos denominadores...
Pela igualdade de polinômios, o que está na frente de deve zerar, e o termo do parênteses independente deve se igualar a ...
Isolando em cima e substituindo em baixo...
e
Voltando para a integração...
Passo 5
Cada uma dessas integrais já sai imediatamente...
Lembrando que