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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

18)

∫ 1 + e x   d x

Passo 1

Bem, nesse tipo de integral é sempre bom pensarmos em como podemos eliminar essa raiz que está nos complicando.

Uma saída é se realizarmos uma substituição mais avançada daquela que estamos acostumados:

Bem se substituíssemos o termo 1 + e x por

1 + e x = t 2

Repare que a raiz quadrada desaparece

1 + e x = t 2 = t       ( c o n s i d e r a n d o   o   t ≥ 0 )

Sacou?

Passo 2

Beleza, então antes de trocarmos na integral, calculemos o d x para trocarmos também...

1 + e x = t 2     →       e x d x = 2 t d t   →

d x = 2 t d t e x

Como queremos o d x em termos de t , troquemos e x = t 2 - 1 ...

d x = 2 t d t t 2 - 1

Trocando...

∫ 1 + e x   d x = 2 ∫ t 2 t 2 - 1 d t    

Essa integral é bem mais elegante, não é mesmo? Mas ainda não sai de uma forma direta! Então venha comigo nessa aventura ;)

Passo 3

Como o denominador e o nominador são muito parecidos, podemos usar o truque de adiciona 1 e tira 1 do nominador para simplificar ainda mais!

2 ∫ t 2 t 2 - 1 d t = 2 ∫ t 2 - 1 + 1 t 2 - 1 d t =

2 ∫ t 2 - 1 t 2 - 1 d t + ∫ 1 t 2 - 1 d t =

2 ∫ d t + ∫ 1 t 2 - 1 d t =

A primeira integral já sai direta...

2 t + ∫ 1 t 2 - 1 d t

A segunda, como conseguimos separar t 2 - 1 em t + 1 t - 1 ...

2 t + ∫ 1 t + 1 t - 1 d t

Podemos pensar em uma integração por partes.

Passo 4

Nesse tipo de integração, o que devemos fazer é separar a fração em uma soma de outras duas mais simples:

1 t + 1 t - 1 = A t + 1 + B t - 1

Onde o que temos que fazer basicamente é encontra o valor real de A e B que torna essa igualdade verdadeira. Podemos começar tirando o M M C dessa soma, lembrando que o M M C no caso é sempre o produto dos denominadores...

1 t + 1 t - 1 = A t - 1 + B t + 1 t + 1 t - 1   ⇒

A t - 1 + B t + 1 = 1   ⇒

A t - A + B t + B = 1     ⇒

A + B t + B - A = 1

Pela igualdade de polinômios, o que está na frente de t deve zerar, e o termo do parênteses independente deve se igualar a 1 ...

A + B = 0

B - A = 1

Isolando em cima e substituindo em baixo...

A = - B

B - A = 1   →       B + B = 1   →       B = 1 2

e

A = - 1 2

1 t + 1 t - 1 = - 1 2 t + 1 + 1 2 t - 1

Voltando para a integração...

Passo 5

2 t + ∫ 1 t + 1 t - 1 d t = 2 t + ∫ - 1 2 t + 1 + 1 2 t - 1 d t ⇒

2 t - 1 2 ∫ 1 t + 1 d t + 1 2 ∫ 1 t - 1 d t ⇒

Cada uma dessas integrais já sai imediatamente...

2 t - 1 2 ln ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ t - 1 + C =

2 t - ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t - 1 + C

Lembrando que t = e x + 1

∫ 1 + e x   d x = 2 e x + 1 - ln ⁡ e x + 1 + 1 + ln ⁡ e x + 1 - 1 + C

Resposta

2 e x + 1 - ln ⁡ e x + 1 + 1 + ln ⁡ e x + 1 - 1 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x