UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.4 – Questão 1a:f
Em geral, a regra da substituição de variável não aparece nas tabelas de integrais. Precisamos saber que uma integral em uma determinada variável (por exemplo x) pode ser escrita em uma outra variável (por exemplo u) se fizermos todas as substituições na função a ser integrada e também no termo . Como exemplo, considere .
- Calcule a derivada de
- Escreva em função de e
- Escreva em termos de e
- Escreva em função de
- Escreva em termos de e
- Escreva em termos de e
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Tem vários passinhos e vamos seguir um a um!
Foi nos dado essa substituição :
Precisamos calcular a derivada, então vamos lá:
Letra (a): a derivada de é:
Mas podemos escrever como
Então a derivada de fica:
Beleza até aqui?
Passo 2
Letra (b): Escreva em função de e
Agora vamos usar a derivada que encontramos no item anterior para escrever em função do que é pedido
Isolando temos:
Beleza?
Passo 3
Letra (c): Escreva em termos de e
Agora precisamos isolar o !
Da expressão para a derivada:
Isolando temos:
Passo 4
Letra (d): Escreva em função de
nossa função era:
E agora o problema pediu para escrevermos em função de , isso significa isolar !
Agora a ideia é isolar :
E é isso aí! Vamos para a próxima letra?
Passo 5
Letra (e): Escreva em termos de e
Vamos relembrar quem era nosso ? Lá da letra (b):
Mas agora sabemos qual é a expressão de em função de , então é só substituir:
Tranquilo? Estamos quase no fim!
Passo 6
Letra (f): Escreva em termos de e
E por fim o problema nos pede para escrever em termos de e . Vamos resgatar lá da letra (c) a expressão do :
E queremos escrever ele em função só de e , então vamos usar a expressão de para :
E substituir em :
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?