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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.4 – Questão 1i

Em geral, a regra da substituição de variável não aparece nas tabelas de integrais. Precisamos saber que uma integral em uma determinada variável (por exemplo x) pode ser escrita em uma outra variável (por exemplo u) se fizermos todas as substituições na função a ser integrada e também no termo d x . Como exemplo, considere u   =   1   +   l n   x .

  1. Use a substituição do enunciado para resolver a integral ∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Passo 1

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcular essa integral aqui:

∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

E deu uma dica: usar a substituição do enunciado! Então é isso que vamos fazer! A substituição do enunciado é:

u = 1 + ln ⁡ x

Então vamos derivar:

d u = 1 x d x → x   d u = d x

Passo 2

Agora substituímos na integral:

∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x = ∫ ln ⁡ x 3 x ( u )   x   d u

∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x = ∫ ln ⁡ x 3 u     d u

x no numerador e no denominador, mas ainda não vamos nos livrar daquele ln ⁡ x !

Mas o problema nos deu a dica: usar a substituição! Então vamos voltar para ela e olhar com mais carinho:

u = 1 + ln ⁡ x

E se isolarmos aquele ln ⁡ x ?

ln ⁡ x = u - 1

Agora podemos eliminar aquele logaritmo no integrando e ficar apenas em termos de u e d u !

∫ ln ⁡ x 3 x ( u )   x   d u = 1 3 ∫ u - 1 u d u

Por fim podemos separar em duas integrais:

∫ u - 1 u d u = 1 3 ∫ u u d u - ∫ 1 u d u

∫ u - 1 u d u = 1 3 ∫ d u - ∫ 1 u d u

Agora nossa missão virou integrar essa coisa aí!

Passo 3

Nossa integral é:

∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Aí utilizando uma mudança de variáveis e chegamos a essas duas integrais aqui:

1 3 ∫ d u - ∫ 1 u d u

Agora é só integrar:

∫ d u = u

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

1 3 ∫ d u - ∫ 1 u d u = 1 3 u - 1 3 ln ⁡ u

Passo 4

Agora voltamos pra variável inicial, lembrando que:

u = 1 + ln ⁡ x

Então temos:

∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x )   d x =   1 3 1 + ln ⁡ x - 1 3 ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ x ) + C

Resposta

∫ ln ⁡ x 3 x ( 1 + ln ⁡ x )   d x =   1 3 1 + ln ⁡ x - 1 3 ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ x ) + C

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