Para a integral abaixo, determine seu valor ou decida sobre sua convergência.

∫ 1 e d x x ln ⁡ x 2

Passo 1

Para x = 1 , temos que: ln ⁡ 1 = 0 . Logo, o denominador zera e temos uma singularidade. Para contornar isso, vamos trocar o intervalo inferior de integração por um número geral a e aplicar o limite: ∫ 1 e d x x ln ⁡ x 2 = lim a → 1 ⁡ ∫ a e d x x ln ⁡ x 2  

Agora vamos pensar só na integral e depois lidamos com o limite.

Passo 2

Repara que temos ln ⁡ x e sua derivada 1 / x na função, então podemos fazer a substituição:

u = ln ⁡ x u e = ln ⁡ e = 1 d u = 1 x d x u a = ln ⁡ a

Assim, teremos:

∫ a e d x x ln ⁡ x 2 = ∫ ln ⁡ a 1 d u u 2 = ∫ ln ⁡ a 1 u - 2 d u

Agora, temos podemos usar a regra de integração polinômios: ∫ ln ⁡ a 1 u - 2 d u = u - 2 + 1 - 2 + 1 ln ⁡ a 1 = - 1 u ln ⁡ a 1 = - 1 + 1 ln ⁡ a

Passo 3

Vamos aplicar o limite agora: ∫ 1 e d x x ln ⁡ x 2 = lim a → 1 ⁡ ∫ a e d x x ln ⁡ x 2 = lim a → 1 ⁡ - 1 + 1 ln ⁡ a = - 1 + 1 ln ⁡ 0 = - ∞

Dessa maneira, a integral diverge!

Resposta

A integral diverge.

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