Lembrando que duas funções que possuem a mesma derivada em um intervalo diferem por uma constante, determine a função y ( x ) que satisfaz as condições abaixo.

a )   y ' ( x )   =   e 3 x   +   5 e - x e o gráfico de y passa pelo ponto ( 0 , - 5 )

Passo 1

Oii gente linda, tudo bem com vocês?? Bora pra mais um probleminhaaa?

Bom a questão quer que encontremos a função primitiva e sua respectiva constante, é por isso que a questão nos informa a derivada ( y ' ) e um ponto que pertence a nossa função ( y ) em questão. Então o que devemos fazer???

Passo 2

Pessoal, o primeiro passo é encontrar a função primitiva por meio da aplicação da integral e em seguida deveremos substituir o ponto em questão para encontrarmos a respectiva constante. Bora botar a mão na massa!

∫ y ' ( x )   = ∫ (   e 3 x   +   5 e - x ) d x   =   ∫ e 3 x d x   +   ∫ 5 e - x d x   +   K

Após aplicar a regra da integral da soma, precisaremos encontrar cada uma das integrais acima. Sendo assim,

  ∫ e 3 x d x

Utilizando o método da substituição para facilitar nossas continhas, temos que u   =   3 x

  ∫ e 3 x d x   =   ∫ e u 3 d u   =   1 3 e u =   e 3 x 3

Passo 3

Passo 4

Tudo belezinha até aqui? Pois bora descobrir o valor da segunda integral:

  ∫ 5 e - x d x

Utilizaremos novamente o método da substituição.

Assim,

  ∫ 5 e - x d x =     ∫ 5 e v ( - d v )   =   - 5   ∫ e v d v =   - 5 e v =   - 5 e - x  

Agora que sabemos o valor das duas integrais ficou mamão com açúcar resolver essa questão.

∫ y ' ( x )   = ∫ (   e 3 x   +   5 e - x ) d x   =   ∫ e 3 x d x   +   ∫ 5 e - x d x   =   e 3 x 3 - 5 e - x   +   K  

E aí? Acabamos? Calma lá que ainda tá faltando a cereja do bolo, precisamos encontrar o valor da nossa constante!

Passo 5

Até agora encontramos o valor da nossa função primitiva y ( x )   = e 3 x 3 - 5 e - x   +   K   , más ainda falta encontrarmos o valor da constante K . E para isso, utilizaremos o ponto que o enunciado nos deu ( 0 , - 5 ) , ponto esse que pertence a y ( x ) .

y ( x )   = e 3 x 3 - 5 e - x   +   K  

y ( 0 )   = e 3 ⋅ 0 3 - 5 e - 0   +   K     =   - 5  

1 3   -   5   +   K   =   - 5

K   =   - 1 3

Por fim, a solução particular será

∫ y ' ( x ) = e 3 x 3 - 5 e - x - 1 3  

Consegui ajudar vocês, pimpolhos?! Espero que sim!

Uma ótima semana e bons estudos! :)

Resposta

∫ y ' ( x ) = e 3 x 3 - 5 e - x - 1 3  

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x