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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 499123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios, Questão 2a

2. Mediante o uso de uma tabela, calcule cada uma das seguintes integrais indefinidas.

(a)  ∫ ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) 2 d x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) 2 d x usando a expansão do binômio e propriedades de integração. Vamos resolver passo a passo:Passo 1: Primeiro, expandimos o binômio ( x - 1 ) ( x + 1 ) :

( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1

Passo 2

Passo 2: Agora, elevamos essa expressão ao quadrado:

x 2 - 1 2 = x 4 - 2 x 2 + 1

Passo 3

Passo 3: A integral da função x 4 - 2 x 2 + 1 em relação a x é:

∫   x 4 - 2 x 2 + 1 d x = x 5 5 - 2 x 3 3 + x + C

onde C é a constante de integração.

Vamos confirmar o resultado derivando a expressão obtida:

d d x x 5 5 - 2 x 3 3 + x + C = x 4 - 2 x 2 + 1

Comparando com o integrando original x 2 - 1 2 , vemos que a derivada é igual ao integrando original. Portanto, a resposta está correta.

Resposta

∫   ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) 2 d x = x 5 5 - 2 x 3 3 + x + C

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