UNB – Sem Campus – Cálculo 1 – Listas – Listas de Aplicações Calculo 1 – UNB – Lista 11 – Questão 4
Uma partícula de massa se move retilineamente sob a ação de uma força que é proporcional à velocidade da partícula e atua em sentido contrário ao deslocamento. Desse modo , com constante. Supondo que resolva os itens a seguir.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, temos que , em que é a aceleração da partícula. Usando essa informação e a expressão para dada no enunciado, obtenha a equação que relaciona , , e .
Lembrando que a derivada de é igual a , use o item anterior para obter em termos de , e .
Determine o espaço percorrido pela partícula até o instante , supondo .
Calcule a distância total percorrida pela partícula, dada por .
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
O enunciado trás para gente um problema clássico de uma partícula que se move em linha reta e sofre a ação de uma força dissipativa proporcional a velocidade. Para a letra temos que escrever a equação que relaciona todas estas quantidades, e iremos resolver esta equação para na alternativa . Para a alternativa iremos utilizar a expressão que obtemos em para encontrar e fazer o limite para muito grande na última alternativa! Vamos lá!
Passo 2
A primeira alternativa consiste em aplicar a segunda lei de Newton, temos que
Mas a única força atuando sobre nossa partícula é , portanto, temos
Dividindo tudo por e por , temos que
A alternativa é isso! Temos a relação que precisávamos! Vamos para próxima!
Passo 3
Como o enunciado nos indica que , nós temos
Multiplicando os dois lados por , podemos escrever
O que pode ser integrado em ambos os lados considerando limites de integração adequados, temos
Vamos resolver estas integrais!
Passo 4
Como a integral de toda infinitesimal da forma
temos que
Utilizando a propriedade do logaritmo , temos
Por último, podemos eliminar a função logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados para obter
Essa é a resposta de nossa alternativa . Vamos para a .
Passo 5
Para encontrarmos , precisamos primeiro lembrar que
Multiplicando os dois lados por , obtemos
O que pode ser integrado, com os limites adequados, para obter
O enunciado nos dá que , e nós encontramos na alternativa anterior, vamos calcular a integral!
Passo 6
Temos usando o que obtemos
Fazendo uma mudança de variável da forma e , temos que
Como a integral da exponencial é própria exponencial, obtemos que
Avaliando os limites de integração, temos, finalmente
Vamos finalizar agora fazendo o limite!!
Passo 7
Por último temos que calcular
Substituindo o que acabamos de encontrar no passo anterior, temos
Como o limite da exponencial negativa tende a quando , temos que
Finish!!! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta