Q02d) Calcule as seguintes integrais:

∫ 0 1 x 5 + x   d x

Passo 1

Essa é outra daquelas integrais que assustam a gente! O truque pra resolver essa é lembrar que quando derivamos raízes elas acabam se regenerando. Como assim, você me pergunta. Olha um exemplo. Em uma substituição simples, se fizermos:

u = x = x 1 2

Ao derivarmos:

d u d x = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x

d u d x = 1 2 x

E isso funciona com outras raízes, quer ver? Olha outro exemplo:

u = x 3 = x 3 2

Ao derivarmos:

d u d x = 3 2 x 1 2 = 3 2 x

Viu só, a raiz reapareceu. Isso é bom pra gente porque se conseguirmos uma forma de deixar a integral como um produto de raízes, quando fizermos a substituição simples, a raiz que reaparece vai cortar! Então é exatamente isso que vamos tentar fazer: reescrever a integral como um produto de raízes!

Passo 2

Pra começar, vamos fazer a mesmas coisa que fizemos no passo 1 pra ficar mais claro: transformar raiz em potência de x . Pro x 5 no interior, vamos ter:

∫ 0 1 x 5 + x   d x = ∫ 0 1 x 5 2 + x   d x

Pra eu gerar um produto aí, tenho que tentar colocar algo em evidência. Que tal colocar x então? Dessa forma vou acabar gerando um + 1 , o que é fácil de derivar se precisarmos. Show! Vamos lá. Como x = x 1 = x 2 2 , ao por em evidência, ficamos com:

∫ 0 1 x 5 2 + x   d x = ∫ 0 1 x x 3 2 + 1   d x

∫ 0 1 x x 3 2 + 1   d x = ∫ 0 1 x ∙ x 3 2 + 1   d x

Ahhh muleque! Produto de raízes! Agora sim da pra por aquela ideia de regenerar raízes pra cortar! Fazendo a substituição simples então:

u = x 3 2 + 1

Ao derivarmos dá

d u d x = 3 2 x 1 2 = 3 2 x

E logo:

d x = 2 3 x   d u

Agora pra fechar a substituição simples, vamos mudar também os limites de integração. Se:

u = x 3 2 + 1

Então:

x = 0 → u = 1

x = 1 → u = 2

E logo a nossa integral vira:

∫ 0 1 x ∙ x 3 2 + 1   d x = ∫ 1 2 x ∙ u   2 3 x   d u = 2 3 ∫ 1 2 u     d u

Passo 3

Bora fechar com chave de ouro então resolvendo a integral mais simples. Chegamos a conclusão que:

∫ 0 1 x 5 + x   d x = 2 3 ∫ 1 2 u     d u

Como u = u 1 2 , pra integrar isso, basta a gente usar a regra de integração de polinômios. Vamos ter:

2 3 ∫ 1 2 u     d u = 2 3 u 3 2 3 2 u = 1 u = 2 = 2 3 2 3 u 3 2 u = 1 u = 2 = 4 9 u 3 2 u = 1 u = 2

Continuando, vamos ter:

2 3 ∫ 1 2 u     d u = 4 9 2 3 2 - 1 3 2 = 4 9 2 2 2 ∙ 2 1 2 - 1 = 4 9 2 2 - 1

Resposta

∫ 0 1 x 5 + x   d x = 4 9 2 2 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x