Q02d) Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Essa é outra daquelas integrais que assustam a gente! O truque pra resolver essa é lembrar que quando derivamos raízes elas acabam se regenerando. Como assim, você me pergunta. Olha um exemplo. Em uma substituição simples, se fizermos:
Ao derivarmos:
E isso funciona com outras raízes, quer ver? Olha outro exemplo:
Ao derivarmos:
Viu só, a raiz reapareceu. Isso é bom pra gente porque se conseguirmos uma forma de deixar a integral como um produto de raízes, quando fizermos a substituição simples, a raiz que reaparece vai cortar! Então é exatamente isso que vamos tentar fazer: reescrever a integral como um produto de raízes!
Passo 2
Pra começar, vamos fazer a mesmas coisa que fizemos no passo pra ficar mais claro: transformar raiz em potência de . Pro no interior, vamos ter:
Pra eu gerar um produto aí, tenho que tentar colocar algo em evidência. Que tal colocar então? Dessa forma vou acabar gerando um , o que é fácil de derivar se precisarmos. Show! Vamos lá. Como , ao por em evidência, ficamos com:
Ahhh muleque! Produto de raízes! Agora sim da pra por aquela ideia de regenerar raízes pra cortar! Fazendo a substituição simples então:
Ao derivarmos dá
E logo:
Agora pra fechar a substituição simples, vamos mudar também os limites de integração. Se:
Então:
E logo a nossa integral vira:
Passo 3
Bora fechar com chave de ouro então resolvendo a integral mais simples. Chegamos a conclusão que:
Como , pra integrar isso, basta a gente usar a regra de integração de polinômios. Vamos ter:
Continuando, vamos ter: