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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = I

Passo 1

Queremos encontrar o valor dessa integral, e para isto, a gente deve notar que e 4 x = e 2 x 2

Logo, se a gente fizer uma mudança simples do tipo e 2 x = u , a gente mata a charada do problema, até mesmo porque

d u d x = e 2 x ∙ ( 2 x ) '

ou seja

d u = 2 e 2 x d x       →             e 2 x d x = d u 2

Passo 2

Se a gente substituir tudo na nossa integral, obteremos

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = ∫ 1 1 - e 2 x 2 e 2 x d x

= ∫ 1 1 - u 2 d u 2 = 1 2 ∫ 1 1 - u 2 d u

Pow, essa integral a gente já mata direto, basta à gente lembrar quem essa última integral aí. Quem que se a gente derivar dá esse cara de dentro?

Uma dica: Trigonométricas inversas...

Yes! Arco-seno, logo:

1 2 ∫ 1 1 - u 2 d u = 1 2 arcsin ⁡ u + c

Passo 3

Voltando para a nossa variável original, ou seja, substituindo u , teremos

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = 1 2 arcsin ⁡ u + c

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = 1 2 arcsin ⁡ ( e 2 x ) + c

Resposta

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = arcsin ⁡ ( e 2 x ) 2 + c

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x