Questão 5

Determine se a integral

∫ - ∞ 0 e 3 x d x

É convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.

Passo 1

Bom gente bonita, chegamos na nossa última questão da prova. Hora de garabitar!

Essa questão pode parecer complicada, mas nem é.

O lance aqui é, como essa integral é imprópria, pois temos que um dos limites de integração tende ao menos infinito.

O que nós temos que fazer é calcular a integral normalmente, mas na hora de substituir o limite de integração, calcular o limite com t → - ∞

∫ - ∞ 0 e 3 x d x = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 e 3 x d x

Tá, agora é só calcular essa integral:

∫ t 0 e 3 x d x

Passo 2

Bom, aqui você pode usar o valor tabelado dessa integral, ou então, aplicar a substituição simples:

u = 3 x

Portanto, podemos encontrar d u derivando dos dois lados:

d u = 3 d x

De forma que:

d x = d u 3

Substituindo tudo na integral, teremos:

∫ t 0 e u d u 3

Essa integral sabemos calcular, ela resulta em:

e u 3 0 t

E desfazendo a substituição, teremos:

e 3 x 3 0 t

Substituindo os limites, teremos:

e 0 3 - e t 3 = 1 3 - e t 3

Passo 3

Por fim, vamos agora aplicar o limite com t → - ∞

l i m t → - ∞ 1 3 - e t 3

E sabemos que e - ∞ = 1 e ∞ tende a zero, portanto:

l i m t → - ∞ 1 3 - e t 3 = 1 3

Dessa forma, essa integral converge e seu valor é 1 3 .

Resposta

Converge para 1 3

A = 8 3

c)

V = 166 π 15

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x