P3 – Cálculo 1 – Unicamp – 2022.2 – Questão 5
Questão 5
Determine se a integral
É convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu valor.
Passo 1
Bom gente bonita, chegamos na nossa última questão da prova. Hora de garabitar!
Essa questão pode parecer complicada, mas nem é.
O lance aqui é, como essa integral é imprópria, pois temos que um dos limites de integração tende ao menos infinito.
O que nós temos que fazer é calcular a integral normalmente, mas na hora de substituir o limite de integração, calcular o limite com
Tá, agora é só calcular essa integral:
Passo 2
Bom, aqui você pode usar o valor tabelado dessa integral, ou então, aplicar a substituição simples:
Portanto, podemos encontrar derivando dos dois lados:
De forma que:
Substituindo tudo na integral, teremos:
Essa integral sabemos calcular, ela resulta em:
E desfazendo a substituição, teremos:
Substituindo os limites, teremos:
Passo 3
Por fim, vamos agora aplicar o limite com
E sabemos que tende a zero, portanto:
Dessa forma, essa integral converge e seu valor é .
Resposta
Converge para
c)