Questão 2) a:

∫ sin 5 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Passo 1

Para calcular essa integral, podemos fazer, como quase sempre, por dois métodos:

1º - Integração por partes;

2º - Substituição simples (Pois tem um seno elevado a um número impar, vezes um cosseno).

Por opção, sempre tento fugir de integração partes, então vamos ver como fica a substituição!

Passo 2

Repare que podemos escrever o seno dessa forma aqui:

∫ sin 5 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x sin 4 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Como tem um seno a mais, vamos tentar substituir o cosseno, pois a derivada dele é justamente esse seno a mais. Mas como podemos fazer isso com aquele ainda seno a quarta? Ora:

sin 4 ⁡ x = sin 2 ⁡ x 2 = 1 - cos 2 ⁡ x 2 =

1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x

Viu só? Então:

∫ sin ⁡ x 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x =

∫ sin ⁡ x cos 4 ⁡ x - 2 cos 6 ⁡ x + cos 8 ⁡ x d x

Fazendo a substituição então de...

Passo 3

cos ⁡ x = t         →            

O d t é...

d t = - sin ⁡ x d x

Substituindo então...

∫ sin ⁡ x cos 4 ⁡ x - 2 cos 6 ⁡ x + cos 8 ⁡ x d x = - ∫ t 4 - 2 t 6 + t 8 d t =

- t 5 5 + 2 t 7 7 - t 9 9 + C =

Voltando para a variável original...

∫ sin 5 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = - cos ⁡ x 5 5 + 2 cos ⁡ x 7 7 - cos ⁡ x 9 9 + C

Resposta

- cos ⁡ x 5 5 + 2 cos ⁡ x 7 7 - cos ⁡ x 9 9 + C

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