Regra de Substituição

( d ) ∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a integral

∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x

Vamos utilizar alguma substituição para resolvermos essa integral.

Então vamos lá!

Passo 2

Então vamos calcular

∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x

Antes de realizar a substituição vamos lembrar que s i n 2 ( x ) = 1 - c o s 2 ( x )

∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x = ∫ 0 2 π ( 1 - c o s 2 ( x ) ) 2 c o s 4 ( x ) s i n ( x ) d x

Vamos realizar a substituição

u = c o s ( x )

d u = - s i n ( x ) d x

Olhando para os limites de integração:

u ( 2 π ) = c o s ( 2 π ) = 1

u ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1

Assim,

∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x = - ∫ 1 1 ( 1 - u 2 ) 2 u 4 d u

Passo 3

Então temos que calcular essa integral

- ∫ 1 1 ( 1 - u 2 ) 2 u 4 d u

Como os limites de integração são iguais, temos que a integral é nula

- ∫ 1 1 ( 1 - u 2 ) 2 u 4 d u = 0 .

Voltando, temos

∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x = 0 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 2 π s i n 5 ( x ) c o s 4 ( x ) d x = 0 .

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