Regra de Substituição

( f ) ∫ t a n 3 ( x ) d x

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcularmos a integral

∫ t a n 3 ( x ) d x

Vamos utilizar alguma substituição para resolvermos essa integral.

Então vamos lá!

Passo 2

Então vamos calcular

∫ t a n 3 ( x ) d x

Lembrando que

t a n 2 ( x ) = 1 + s e c 2 ( x )

Então,

∫ t a n 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 + s e c 2 ( x ) ) t a n ( x ) d x = ∫ t a n ( x ) d x + ∫ s e c 2 ( x ) t a n ( x ) d x

Para resolver a segunda integral vamos realizar a substituição

u = t a n ( x )

d u = s e c 2 ( x ) d x

Assim,

∫ t a n ( x ) d x + ∫ s e c 2 ( x ) t a n ( x ) d x = ∫ t a n ( x ) d x + ∫ u   d u

Passo 3

Então temos que calcular essas integrais

∫ t a n ( x ) d x + ∫ u   d u

Essas integrais são conhecidas, então:

∫ t a n ( x ) d x + ∫ u   d u = l n | s e c ( x ) | + u 2 2 .

Voltando, temos

∫ t a n 3 ( x ) d x = l n | s e c ( x ) | + t a n 2 ( x ) 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ t a n 3 ( x ) d x = l n | s e c ( x ) | + t a n 2 ( x ) 2 .

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