2. Regra de Substituição

k) ∫ 2 x 2 + 1 x 3 + x d x

dica: 2 x 2 + 1 x 3 + x = x 2 + x 2 + 1 x x 2 + 1 = x 2 x x 2 + 1 + x 2 + 1 x x 2 + 1

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ 2 x 2 + 1 x 3 + x d x .

Como temos uma função, dentro da integral, que não dá pra ser integrada diretamente, precisamos usar alguma técnica de integração.

Como temos função composta, usamos o método da substituição.

Passo 2

Usando a dica, a integral fica:

∫ 2 x 3 + 1 x 3 + x d x = ∫ x 2 x x 2 + 1 + x 2 + 1 x x 2 + 1 d x

= ∫ x 2 x x 2 + 1 d x + ∫ x 2 + 1 x x 2 + 1 d x

Fazendo as simplificações:

= ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x d x

Já podemos resolver a segunda integral, né? Ela sai direto:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Passo 3

Para a primeira integral, repara que o que está na parte de cima da fração é beeem parecido com a derivada do que está na parte de baixo. Usando substituição simples:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x → x   d x = d u 2

E a primeira integral fica:

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 u d u

Resolvendo:

= 1 2 ln ⁡ u

Voltando pra x :

= 1 2 ln ⁡ x 2 + 1

Agora somamos os dois resultados e também adicionamos uma constante no final, já que é uma integral indefinida:

∫ 2 x 3 + 1 x 3 + x d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ x + C

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ x + C

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