2. Regra de Substituição

p) ∫ x sen ⁡ x 2 d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos resolver a integral   ∫ x sen ⁡ x 2 d x .

Como temos uma função, dentro da integral, que não dá pra ser integrada diretamente, precisamos usar alguma técnica de integração.

Como temos função composta, usamos o método da substituição.

Passo 2

Repara que a parte de cima da fração em é beeem parecida com a derivada do que está dentro do seno.

Usando substituição simples:

u = x 2

d u = 2 x   d x → x   d x = d u 2

E a integral fica:

∫ x sen ⁡ x 2 d x = 1 2 ∫ 1 sen ⁡ u d u

Lembrando que 1/seno é igual a cossecante:

1 sen ⁡ u = csc ⁡ u

Então:

1 2 ∫ 1 sen ⁡ u d u = 1 2 ∫ csc ⁡ u d u

E a integral da cossecante temos tabelada:

= 1 2 ln ⁡ tan ⁡ u

Voltando pra x :

= 1 2 ln ⁡ tan ⁡ x 2

E, como é uma integral indefinida, precisamos adicionar a constante no final:

= 1 2 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ tan ⁡ x 2 + C

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