1.4 Resolva ∫ 0 + ∞ d x x x + 1 (Determine se a integral é convergente ou divergente)

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ 0 - ∞ d x x x + 1 e dizer se ela é convergente ou divergente.

Pra calcular a integral vamos usar substituição simples, maaas como o limite de integração superior está indo para mais infinito, vamos substituir por uma letrinha qualquer e resolver normalmente:

∫ 0 a d x x x + 1

Depois, calculamos o limite do resultado com a tendendo a + ∞ . Se tiver um resultado finito, então ela é convergente.

Passo 2

Essa integral do jeito que está não dá pra gente resolver, né? então vamos precisar de alguma técnica. Vamos tentar por substituição simples...

u = x

d u = 1 2 x d x → 2 d u = 1 x d x

Oh... ficou bonito, né?

Para os limites de integração:

x = 0 → u = 0

x = a → u = a

A integral fica:

∫ 0 a d x x x + 1 d x = ∫ 0 a 2 u 2 + 1 d u

= 2 ∫ 0 a 1 u 2 + 1 d u

= 2 arctan ⁡ u 0 a

= 2 arctan ⁡ a - arctan ⁡ 0

= 2 arctan ⁡ a

Passo 3

Agora calculamos o limite:

lim a → + ∞ ⁡ 2 arctan ⁡ a = 2 π 2

= π

Como o limite deu um valor finito, então a integral é convergente.

Resposta

π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x