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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

9.13. Resolva as integrais abaixo:

a) ∫ x e x d x

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ x e x d x .

Como é uma função composta, vamos usar substituição simples.

Passo 2

Usando a substituição:

t = x → d t = 1 2 x d x

d x = 2 x d t

Como t = x :

d x = 2 t d t

A integral fica:

∫ x e x d x = ∫ t e t 2 t d t

= ∫ 2 t 2 e t d u

Passo 3

Agora temos duas funções multiplicadas. Vamos usar integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então:

u = 2 t 2 → d u = 4 t d t

d v = e t d t → v = e t

E fica:

∫ 2 t 2 e t d u = 2 t 2 e t - ∫ 4 t e t d t

Passo 4

Usando integração por partes de novo pra calcular a integral do final:

u = 4 t → d u = 4 d t

d v = e t d t → v = e t

Ficamos com:

∫ 4 t e t d t = 4 t e t - ∫ 4 e t d t

= 4 t e t - 4 e t

Voltando pra equação do final do passo 3:

∫ 2 t 2 e t d u = 2 t 2 e t - 4 t e t - 4 e t

= 2 t 2 e t - 4 t e t + 4 e t

Voltando pra x :

∫ x e x d x = 2 x e x - 4 x e x + 4 e x

Como é uma integral indefinida, adicionamos a contante no final:

∫ x e x d x = 2 x e x - 4 x e x + 4 e x + C

Resposta

2 x e x - 4 x e x + 4 e x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x