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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

9.13. Resolva as integrais abaixo:

b) ∫ 1 x 5 - x 2 d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 1 x 5 - x 2 d x .

Como temos essa raiz com essa variável ao quadrado, vamos usar substituição trigonométrica.

Por ser tipo a 2 - x 2 , podemos usar ou x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Passo 2

Usando a substituição trigonométrica:

x = 5 sen ⁡ θ → d x = 5 cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ 1 x 5 - x 2 d x = ∫ 1 5 sen ⁡ θ 5 - 5 sen ⁡ θ 2 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 5 cos ⁡ θ 5 sen ⁡ θ 5 - 5 sen 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ 5 1 - sen 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ 5 cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ sen ⁡ θ 5 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 1 5 sen ⁡ θ d θ

Passo 3

Essa integral que ficou é meio conhecida por ser difícil de resolver e tals...

Vamos usar um bizu, que é multiplicar por seno em cima e embaixo:

∫ 1 5 sen ⁡ θ d θ = ∫ 1 5 sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ sen ⁡ θ d θ

= ∫ sen ⁡ θ 5 sen 2 ⁡ θ d θ

= ∫ sen ⁡ θ 5 1 - cos 2 ⁡ θ d θ

Daí usamos substituição simples:

u = cos ⁡ θ → d u = - sen ⁡ θ d θ

sen ⁡ θ d θ = - d u

E a integral fica:

∫ sen ⁡ θ 5 1 - cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 5 1 - u 2 ( - d u )

Passo 4

Vamos fatorar a parte de baixo:

∫ 1 5 1 - u 2 - d u = - 1 5 ∫ d u 1 - u 1 + u

Vamos separar 1 1 - u 1 + u em frações parciais:

1 1 - u 1 + u = A 1 - u + B 1 + u

= A 1 + u + B 1 - u 1 - u 1 + u

= A + B + u A - B 1 - u 1 + u

Ficamos com o sistema:

A + B = 1 A - B = 0

Resolvendo:

A = B = 1 2

Ficamos com:

- 1 5 ∫ d u 1 - u 1 + u = - 1 5 ∫ 1 2 1 - u + 1 2 1 + u d u

= - 1 2 5 ∫ 1 1 - u + 1 1 + u d u

Passo 5

Resolvendo a integral:

= - 1 2 5 - ln ⁡ 1 - u + ln ⁡ 1 + u

Voltando pra θ , pois u = cos ⁡ θ :

= - 1 2 5 - ln ⁡ 1 - cos ⁡ θ + ln ⁡ 1 + cos ⁡ θ

E voltando pra x ... já que x = 5 sen ⁡ θ → sen ⁡ θ = 1 5 x   e usando a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

cos ⁡ θ = 1 - x 2 5

cos ⁡ θ = 5 - x 2 5

Então:

= - 1 2 5 - ln ⁡ 1 - 5 - x 2 5 + ln ⁡ 1 + 5 - x 2 5

Resposta

- 1 2 5 - ln ⁡ 1 - 5 - x 2 5 + ln ⁡ 1 + 5 - x 2 5

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x