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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

9.13. Resolva as integrais abaixo:

c) ∫ x ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ x ln ⁡ x 2 d x .

Como têm duas funções sendo multiplicadas, uma saída é resolver integrando por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Usando integração por partes (repara que quase sempre que temos ln, vamos escolher ela pra derivar, na integração por partes)

u = ln ⁡ x 2 → d u = 2 ln ⁡ x x d x

d v = x d x → v = x 2 2

A integral fica:

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x 2 2 2 ln ⁡ x x d x

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 ln ⁡ x 2 2 - ∫ x ln ⁡ x d x

Passo 3

Usando integração por partes de novo pra resolver a integral ∫ x ln ⁡ x d x :

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

d v = x d x → v = x 2 2

Então:

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 2 ln ⁡ x - ∫ x 2 2 1 x d x

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - ∫ x 2 d x

∫ x ln ⁡ x d x = x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4

Substituindo na última equação do passo 2:

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 ln ⁡ x 2 2 - x 2 ln ⁡ x 2 - x 2 4

∫ x ln ⁡ x 2 d x = x 2 ln ⁡ x 2 2 - x 2 ln ⁡ x 2 + x 2 4

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= x 2 ln ⁡ x 2 2 - x 2 ln ⁡ x 2 + x 2 4 + C

Resposta

x 2 ln ⁡ x 2 2 - x 2 ln ⁡ x 2 + x 2 4 + C

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Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x