Resolva as integrais seguintes:

b)

∫ x   e 2 x   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ x   e 2 x   d x

Galera, sempre que aparecerem produtos de funções de tipos de diferentes (como temos aqui, uma polinomial e uma exponencial), a gente pode pensar em usar integração por partes. Isso porque, a gente tem uma função que é fácil de integrar e outra que é mais fácil de derivar.

Então, a gente vai usar essa fórmula aqui da integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos escolher a função que seja mais fácil de derivar, pra ser nosso u , que no caso é o x . E escolher a função mais fácil de integral pra ser o nosso d v , que no caso é o e 2 x . Depois vamos juntar tudo na fórmula.

Vamos lá!

Passo 2

Nós já definimos:

u = x

d v = e 2 x

Pra calcular o d u basta derivar u :

d u = 1 d x

Pra calcular o v , nós precisamos integrar d v . Assim,

v = ∫ d v = ∫ e 2 x d x

v = 1 2 e 2 x

Agora vamos substituir tudo na fórmula da integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x   e 2 x   d x = x 1 2 e 2 x - ∫ 1 2 e 2 x d x

Colocando a constante pro lado de fora da integral, temos:

x 1 2 e 2 x - 1 2 ∫ e 2 x d x

E aí só falta a gente resolver a mesma integral que nós fizemos lá em cima (sem esquecer da constante de integração):

x 2 e 2 x - 1 2 1 2 e 2 x + C

x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x 2 e 2 x - 1 4 e 2 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x