UnB, Sem Campus, Cálculo 1, P3 - 2015.2, Questão 1d
Resolva as integrais seguintes:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:
Nesse caso, não dá pra gente resolver usando frações parciais, porque as raízes do denominador são complexas. Então, só nos resta tentar manipular um pouquinho essa equação e fazer algumas substituições para encontrar nosso resultado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar separando nossa integral em duas:
Agora vamos tentar resolver cada uma separadamente pra ficar mais fácil.
Dá segunda integral, temos:
Podemos escrever o nosso denominador na forma:
Assim, vamos chamar . Logo, . E temos:
Ainda não tá muito fácil de resolver, vamos tentar colocar em evidência no denominador:
Colocando a constante pra fora, podemos reescrever como:
Calma que vai melhorar rs. Vamos fazer outra substituição agora, chamando:
Substituindo na integral:
E aí nós temos o resultado tabelado:
Mas a gente definiu , então:
Mas não é nossa variável original, então precisamos olhar pra nossa primeira substituição . E temos:
Passo 3
Agora só falta a gente resolver:
Vamos fazer da mesma forma , daí nós tiramos:
Substituindo, temos:
Dá pra gente separar essa soma também:
E aí, olha só, a segunda integral é igual a que nós calculamos lá em cima, então o resultado vai ser o mesmo: .
Pra primeira integral, precisamos fazer outra substituição, mas dessa vez vai ser mais simples. Vamos fazer:
Substituindo nós temos:
Colocando a constante pra fora e resolvendo:
Como , ficamos com:
Voltando pra nossa variável original, :
Ou
Somando os três resultados, temos:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉