Resolva as integrais seguintes:

c)

∫ cos ⁡ x   e 2 sin ⁡ x + 1   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ cos ⁡ x   e 2 sin ⁡ x + 1     d x

Repara que a derivada da função que tá no expoente tem a função que cosseno, que aparece também na integral. Quando isso acontece, a gente pode pensar em usar uma substituição simples pra resolver a integral.

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar chamando:

u = 2 sin ⁡ x + 1

Pra calcular o d u basta derivar u :

d u = 2 cos ⁡ x d x

Vamos isolar o cos ⁡ x , porque ele já aparece na integral, assim fica mais fácil substituir depois:

d u 2 = cos ⁡ x   d x

Já podemos substituir tudo na nossa integral:

∫ cos ⁡ x   e 2 sin ⁡ x + 1     d x = ∫ e u d u 2

Colocando a constante pra fora da integral, temos:

1 2 ∫ e u d u

E a integral da exponencial é ela mesma, então:

1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C

Agora só falta a gente voltar pra nossa variável original x . Como a gente definiu u = 2 sin ⁡ x + 1 , temos:

1 2 e 2 sin ⁡ x + 1 + C

E encontramos nosso resultado.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 2 e 2 sin ⁡ x + 1 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x