Resolva as integrais seguintes:

c) Inspirada em prova do semestre passado

∫ ln ⁡ x x 2   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ ln ⁡ x x 2   d x

Olhando assim parece complicado, né? É por isso que a gente vai precisar usar a integração por partes para nos ajudar. Lembra dela? A fórmula é essa aqui:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então, a gente precisa escolher uma função fácil de derivar pra ser nosso u e uma função fácil de integrar pra ser nosso d v , em seguida, substituir e calcular nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

A nossa integral pode ser escrita assim:

∫ ln ⁡ x ∙ 1 x 2   d x

Como a gente precisa de uma função fácil de derivar, vamos escolher:

u = ln ⁡ x

Porque derivando, nós temos:

d u = 1 x d x

E aí sobra o 1 x 2 pra ser nosso d v :

d v = 1 x 2

Integrando d v nós obtemos v :

v = ∫ d v = ∫ 1 x 2 d x

Integrando essa função lembrando da regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

v = ∫ x - 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1

v = - 1 x

Passo 3

Beleza, agora temos tudo que precisamos pra substituir na fórmula da integral por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

= ln ⁡ x ∙ - 1 x - ∫ - 1 x 1 x d x

Multiplicando os termos:

- ln ⁡ x x + ∫ 1 x 2 d x

Integrando 1 x 2 = x - 2 , temos:

- ln ⁡ x x + x - 2 + 1 - 2 + 1 + C

- ln ⁡ x x - 1 x + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- ln ⁡ x x - 1 x + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x