Resolva as integrais seguintes:

b) Integral do Dog (SQ1777)

∫ x x 2 + 1   d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:

∫ x x 2 + 1   d x

Olhando assim parece complicado, né? Mas e se a gente chamar u = x 2 + 1 ? É isso que nós vamos fazer pra resolver essa integral por substituição.

Vamos lá!

Passo 2

Bom, como a gente já deu o spoiler lá em cima rs, vamos chamar:

u = x 2 + 1

Derivando pra encontrar o d u , temos:

d u = 2 x   d x

d u 2 = x   d x

A gente isolou o x   d x porque ele aparece na nossa integral, então basta substituir também. Vai ficar assim:

∫ x x 2 + 1   d x = ∫ u   d u 2

Como 1 / 2 é uma constante, a gente pode jogar ela pro lado de fora da integral:

1 2 ∫ u   d u

Mas lembra que u = u 1 2 , certo? Então, a gente pode aplicar a regrinha da potência na integração, que é essa aqui:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Não pode esquecer da constante C quando a gente tiver trabalhando com uma integral indefinida, beleza?

Passo 3

Então, resolvendo nossa integral:

1 2 ∫ u 1 2   d u = 1 2 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

= 1 2 u 3 2 3 2 + C

Fazendo a divisão de frações:

1 2 2 3 u 3 2 + C

2 6 u 3 2 + C

= 1 3 u 3 2 + C

Mas a gente não pode esquecer de voltar pra nossa variável original x . Como a gente definiu u = x 2 + 1 , nosso resultado vai ser:

1 3 x 2 + 1 3 2 + C

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1 3 x 2 + 1 3 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x