Resolva a integral definida

∫ 1 e d x x 1 + ln 2 ⁡ x

Passo 1

Temos uma integral definida, então vamos achar um valor, não se assuste com essa integral. Repara que temos ln ⁡ x e 1 x aí, temos que pensar em usar a substituição. Afinal, a derivada de ln ⁡ x é 1 x .

Vamos seguir os passos da regra da substituição.

Dica:

O método da substituição é um pouco artístico no início, já que você tem que “enxergar” uma parte da integral sendo derivada de outra. Porém, depois, é só seguir os passos. Com treino e prática você passa a “enxergar” melhor.

Se alguma substituição que você tentar não der certo, respire, volte atrás, e tente outra. Faça isso quantas vezes for necessário. Só um cuidado: às vezes, o método da substituição não se aplica e temos que resolver a integral por outros métodos.

Passo 2

1. Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

Percebemos que a derivada de ln ⁡ x é 1 x .

Vamos tentar usar essa substituição e ver se “cola”.

Passo 3

2. Chamar a parte à ser derivada de u .

u = ln ⁡ x

3. Achar a diferencial d u .

d u = 1 x d x

4. Manipular a expressão de d u para ficar igualzinha a alguma parte da integral. No nosso caso já está né.

5. Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

∫ 1 e d x x 1 + ln 2 ⁡ x = ∫ 1 e d u 1 + u 2

Passo 4

6. Verificar se não sobrou t na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, mano, volte atrás!

Ô-ba.

7. Resolver a integral em u normalmente. (depois nos preocupamos com os limites de integração)

∫ d u 1 + u 2 = arctan ⁡ u

8. Substituir u por sua correspondente em t (“DES-Substituir!”)

u = ln ⁡ x

∫ d x x 1 + ln 2 ⁡ x = arctan ⁡ ln ⁡ x

Passo 5

Agora fazemos

∫ 1 e d x x 1 + ln 2 ⁡ x = arctan ⁡ ln ⁡ x x = 1 e = arctan ⁡ ln ⁡ e - arctan ⁡ ln ⁡ 1 = arctan ⁡ 1 - arctan ⁡ 0

⟹ ∫ 1 e d x x 1 + ln 2 ⁡ x = π 4 - 0 = π 4

Resposta

π 4

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x