Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

a )   ∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x

Passo 1

Faaaala galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:

∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x

Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?

Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:

1 ) Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

2 ) Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de u e calcular sua derivada d u .

3 ) Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

Nesse ponto verificamos se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!

4 ) Resolva a integral em u normalmente

5 ) Voltar para a variável original do problema

Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, temos a integral:

�� x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x

A etapa 1 ) é Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

Analisando com atenção o nosso denominador e numerador, vemos que:

d x 2 + 6 x d x = 2 x + 6

= 2 ⋅ ( x + 3 )

E, ( x + 3 ) é uma constante, ou seja, o numerador se diferencia de parte do denominador apenas por uma constante 😊.

Sabendo disso, vamos para a etapa 2 ) , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de u e depois calcular d u . Temos:

u = x 2 + 6 x

Logo:

d u = 2 ( x + 3 ) d x

Massa! Excelente.

Vamos agora para a etapa 3 , que é substituir os termos em x na integral pelos seus correspondentes em u .

Então, vimos que:

d u = 2 ⋅ ( x + 3 ) d x

∴ d u 2 = x + 3 d x

Usando isso e também que:

u = ( x 2 + 6 x )

Vamos ter:

∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x = ∫ 1 u 1 3 ⋅ d u 2

= 1 2 ⋅ ∫ d u u 1 3

Perfeito! Essa é a integral que alcançamos com a substituição de variáveis. Ela é bem mais simples 😊

Passo 3

Agora que já temos a nova integral, vamos para a etapa 4 . Aqui precisamos resolver a integral resultante da substituição!

1 2 ⋅ ∫ d u u 1 3

Reescrevendo-a, vamos ter:

1 2 ⋅ ∫ d u u 1 3 = 1 2 ⋅ ∫ u - 1 3 d u

Essa é a integral de um polinômio, para resolvê-la devemos lembrar que:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1 + C

Daí, vamos ter:

1 2 ⋅ ∫ u - 1 3 d u = 1 2 ⋅ u 2 3 2 3 + C

= 3 u 2 3 + C

Perfeito! Agora temos a última etapa, a etapa 5 , que é sair de u e voltar para a nossa variável original, x .

Daí, ficamos com:

3 u 2 3 + C = 3 x 2 + 6 x 2 3 + C

Prontinho! Chegamos que:

∫ x + 3 x 2 + 6 x 1 3 d x = 3 x 2 + 6 x 2 3 + C

Valeu pessoal, até a próxima 😉

Resposta

3 x 2 + 6 x 2 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x