UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2a
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
Faaaala galera, tudo bem com vocês?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente
Voltar para a variável original do problema
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
A etapa é Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.
Analisando com atenção o nosso denominador e numerador, vemos que:
E, é uma constante, ou seja, o numerador se diferencia de parte do denominador apenas por uma constante 😊.
Sabendo disso, vamos para a etapa , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de e depois calcular . Temos:
Logo:
Massa! Excelente.
Vamos agora para a etapa , que é substituir os termos em na integral pelos seus correspondentes em .
Então, vimos que:
Usando isso e também que:
Vamos ter:
Perfeito! Essa é a integral que alcançamos com a substituição de variáveis. Ela é bem mais simples 😊
Passo 3
Agora que já temos a nova integral, vamos para a etapa . Aqui precisamos resolver a integral resultante da substituição!
Reescrevendo-a, vamos ter:
Essa é a integral de um polinômio, para resolvê-la devemos lembrar que:
Daí, vamos ter:
Perfeito! Agora temos a última etapa, a etapa , que é sair de e voltar para a nossa variável original, .
Daí, ficamos com:
Prontinho! Chegamos que:
Valeu pessoal, até a próxima 😉