UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2b
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
E aí gente, tudo tranquilo?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente
Voltar para a variável original do problema
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
A etapa é Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outa ou só se diferencia de sua derivada por constantes.
No caso específico dessa integral, fica um pouco complicado identificar a mudança de variável pensando dessa forma. Mas, vamos pensar no grande problema pra realizar essa dificuldade, beleza?
O grande ponto é que temos um binômio elevado a um expoente fracionário (que não conseguimos abrir o binômio em função dele). Então, nossa mudança de variável visa tirar o expoente fracionário do binômio.
Pra fazer isso, escrevemos que:
Sabendo disso, vamos para a etapa , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de e depois calcular . Temos:
Logo:
Massa! Excelente.
Vamos agora para a etapa , que é substituir os termos em na integral pelos seus correspondentes em .
Então, vimos que:
Usando isso e também que:
Vamos ter:
Perfeito! Viu que o binômio agora, , tem expoente ? É sobre isso gente...
Vamos seguir 😉
Passo 3
Agora precisamos resolver a integral:
Pra transformá-la em algo mais conhecido, vamos aplicar a distributiva (o famoso “chuveirinho”) no nosso integrando:
Daí:
Olha que top! Agora temos duas integrais de polinômios. Para calculá-las, basta fazermos:
Daí, temos:
Muito bom!!
Daí, pra finalizar, pela etapa vamos retornar à nossa variável original.
Ficamos com:
Portanto:
E é isso gente, muito obrigado pela atenção de vocês 😊