UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2c
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
Ooi galera, como vocês estão?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente.
Voltar para a variável original do problema.
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
A etapa é Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Então, analisando a integral acima, o grande problema está justamente nesse denominador. Pois, temos um binômio dentro da raiz. Assim, algo que poderia resolver nosso problema é usar que:
Sabendo disso, vamos para a etapa , que é realizar a mudança de variável, ou seja, chamar a parte a ser derivada de e depois calcular . Temos:
Logo:
Massa! Excelente.
Vamos agora para a etapa , que é substituir os termos em na integral pelos seus correspondentes em .
Então, vimos que:
Usando isso e também que:
Vamos ter:
Perfeito! Viu que conseguimos resolver o problema do binômio dentro da raiz no denominador. Já já vai ficar bem claro no que isso nos ajuda!
Vamos seguir 😉
Passo 3
Agora, na etapa , precisamos resolver a integral:
Para isso, vamos separá-la em dois monômios diferentes:
Para resolver essas integrais basta utilizarmos as primitivas padrão de polinômios, ou seja:
Daí, temos:
Daí juntando, vem:
Portanto:
Pra finalizar, pela etapa precisamos apenas voltar para a nossa variável original, usando que:
Logo:
Portanto:
É isso galera!
Valeeeeu, tamo junto!