UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2e
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem por aí?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente.
Voltar para a variável original do problema.
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
A etapa consiste em identificar a substituição que precisamos fazer. Aqui, o grande problema é que temos um polinômio com no denominador, mas no numerador temos apenas .
Nessa situação é interessante pensarmos em alguma relação trigonométrica que nos auxilie.
Temos:
Será que tem alguma relação que nos ajuda com isso?
Da trigonometria sabemos que:
Dividindo tudo por ficamos com:
Daí, podemos chamar:
Assim, derivando em ambos os lados:
Substituindo esses resultados na nossa integral, temos:
Melhorando um pouco o caos que ficou na integral, e usando que:
Vem que:
Perfeito!! Olha como a cara dessa integral melhorou hein 😊
Assim, já executamos as etapas , e .
Passo 3
Agora, vamos seguir a etapa e resolver a integral:
Temos:
Excelente! Agora é só voltarmos à variável original (etapa . Como:
Portanto:
Ou seja:
E é issoooo!!
Obrigado pela atenção pessoal, tamo junto!