UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2f
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo bom?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente.
Voltar para a variável original do problema.
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
A etapa consiste em identificarmos uma substituição trigonométrica que diminua o nosso problema. Para isso vamos recorrer à algumas relações trigonométricas.
Da relação fundamental da trigonometria, temos que:
Dividindo tudo por , vem:
Então:
Vamos nos aproveitar dessa relação. Na nossa integral, no denominador temos:
Daí, vamos usar que:
Derivando em ambos os lados:
Substituindo todos esses resultados na integral, temos:
Vamos melhorar um pouquinho esse caos que se formou haha
Daí, usando que:
Vem:
Muito bom pessoal! Conseguimos melhorar a nossa integral.
Assim, já executamos as etapas e .
Passo 3
Agora, seguindo para a etapa , precisamos apenas resolver a integral. Temos:
Como:
Temos:
Daí, substituindo, vem:
Portanto:
E é isso pessoal!
Espero que vocês tenham entendido bem direitinho a solução 😉