UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2g
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
E aí gente bonita, como vocês estão?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente.
Voltar para a variável original do problema.
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
Essa integral é meio feinha neh?!Pra resolvê-la vamos usar a etapa e identificar uma substituição que nos ajude.
Precisamos tirar esse da jogada, para isso uma ideia interessante é chamar:
Assim, o denominador do integrando fica:
Esse denominador tem a cara das integrais que são resolvidas usando substituição trigonométrica. Além disso, quando fazemos:
Se derivarmos, teremos:
Daí, substituindo na integral, temos:
Excelente! Essa integral ainda parece um pouco complicado de resolver, certo? Então, vamos realizar mais uma substituição pra ela ficar bem tranquilinha...
Da trigonometria, temos:
Para aproveitar essa relação, vamos chamar:
Substituindo na integral, vem:
Portanto, temos:
Olha só, melhorou bastante hein pessoal?
Assim, executamos as etapas e .
Passo 3
Agora vamos resolver a integral:
Daí, pra finalizar, precisamos apenas retornar à variável original, .
Temos:
Logo:
Mas:
Logo:
Prontinho, gente!!
Obrigado pela atenção de todos 😊