UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2h
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
E aí galerinha, tudo tranquilo?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente.
Voltar para a variável original do problema.
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
Pra começar, seguindo a etapa , precisamos identificar a mudança de variável que vai facilitar a nossa integral.
O maior problema está justamente nesse , vamos tentar tirá-lo da jogada fazendo:
Assim, o denominador da fração fica:
Esse denominador já é bem interessante porque lembra a integral do arco-tangente:
Show! Então vamos para a etapa de aplicação dessa substituição:
Substituindo esses resultados na integral, temos:
Perfeito! Agora precisamos apenas resolver essa integral 😊
Assim, finalizamos as etapas e da nossa receitinha!!
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Como comentamos anteriormente, essa integral é bem parecida com a integral tabelada cuja primitiva é o arco-tangente. Vamos olhar novamente essa integral:
A nossa integral é em e temos:
Assim:
Racionalizando:
Excelente!
Pra finalizar, precisamos voltar para a nossa variável original . Como:
Temos:
Prontinho pessoal!
Muito obrigado pela atenção de vocês, até a próxima!