UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.1.2j
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
Passo 1
Ooie gente, tudo bem com vocês?
Nessa questão o enunciado nos pede para resolver a integral abaixo usando o método da substituição de variáveis:
Mas, antes da gente meter bronca nessa integral, todo mundo tá lembrado do que se trata o método da substituição de variáveis?
Então, basicamente temos um passo a passo pra aplicar esse método:
Identificar dentro da integral a parte que mais dificulta o seu cálculo e que pode ser sanada por uma substituição de variável.
Mudança de variável: chamar a parte a ser derivada de e calcular sua derivada .
Substituir as partes em por suas correspondentes em .
Nesse ponto verificamos se não sobrou na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, volte atrás!
Resolva a integral em normalmente.
Voltar para a variável original do problema.
Excelente! Agora que revisamos como aplicar esse método, vamos usar essa receitinha pra resolver a integral do problema!
Vem com a gente 😊
Passo 2
Bom, temos a integral:
Começando pela etapa , precisamos identificar a substituição que irá melhorar a cara dessa integral. Para enxergamos ela, vamos fazer um procedimento comum quando temos um polinômio quadrático no denominador: completar quadrados.
Daí, se lembrarmos da integral cuja primitiva é a arco-tangente:
Vemos que o nosso denominador se aproxima bastante disso.
Pra que fique igualzinho, podemos fazer a seguinte substituição:
Derivando:
Daí, substituindo na integral, temos:
Excelente! Assim, executamos as etapas e e deixamos nossa integral com uma cara muito mais legal 😊
Passo 3
Agora vamos para a etapa , que consiste em resolver a integral que achamos. Temos:
Usando a integral tabelada que comentamos no passo anterior, vem que:
Daí, agora é só seguir a etapa e voltar à variável original:
Logo:
É bonito né pessoal? Como uma integral polinomial do nada resulta em uma função arco-tangente haha.
E se a gente pensar que isso é a área abaixo da curva que a função integra representa, é mais legal ainda!
Mas é isso gente, obrigado pela atenção e até a próxima 😉