Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:

(d) ∫ s in ⁡ ( θ ) cos 3 ⁡ ( θ ) d θ ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente resolver a integral pelo método da substituição. Pra isso, a gente precisa identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou que só se diferencia de sua derivada por constantes.

Além disso, a gente pode tentar substituir o argumento de uma função trigonométrica, a própria função trigonométrica, uma função exponencial e o argumento dela, uma função logarítmica e o argumento dela, entre outras. Identificando o caso, vamos chamar essa parte da função de u .

Depois nós encontramos o diferencial d u , derivando u e substituir tudo na integral. Daí em diante, basta resolver a integral mais simples que encontramos na substituição e depois voltar pra nossa variável original no resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos olhar nossa integral:

∫ sin ⁡ ( θ ) cos 3 ⁡ ( θ ) d θ

Olha que interessante, a derivada do cosseno é igual a menos seno, que é justamente o que nós temos na integral. Então, podemos chamar u de cosseno de θ , assim:

u = cos ⁡ ( θ )

E derivando u , vamos encontrar:

d u = - sin ⁡ ( θ ) d θ

sin ⁡ θ d θ = - d u

Sendo assim, substituindo tudo na integral, vamos ter:

∫ sin ⁡ ( θ ) cos 3 ⁡ ( θ ) d θ = ∫ - u 3   d u

E temos uma integral facinha de resolver pela regra da potência ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 + C ):

∫ - u 3   d u = u 3 + 1 3 + 1 + C

= - u 4 4 + C

Como essa é uma integral indefinida, a gente não pode esquecer de somar a constante de integração C no resultado.

Agora vamos voltar pra nossa variável x original. Lembra que definimos u = cos ⁡ ( θ ) ? Então, o resultado da nossa integral será de fato:

- cos 4 ⁡ ( θ ) 4 + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- cos 4 ⁡ ( θ ) 4 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x