UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.5.1e
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
(e) ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente resolver a integral pelo método da substituição. Pra isso, a gente precisa identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou que só se diferencia de sua derivada por constantes.
Além disso, a gente pode tentar substituir o argumento de uma função trigonométrica, a própria função trigonométrica, uma função exponencial e o argumento dela, uma função logarítmica e o argumento dela, entre outras. Identificando o caso, vamos chamar essa parte da função de .
Depois nós encontramos o diferencial , derivando e substituir tudo na integral. Daí em diante, basta resolver a integral mais simples que encontramos na substituição e depois voltar pra nossa variável original no resultado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos olhar nossa integral:
Antes de fazer a substituição, vamos tentar reescrever nossa função usando a identidade trigonométrica :
Agora olha que interessante, a derivada do seno de alguma coisa é igual ao cosseno dessa mesma coisa. Então, podemos chamar de seno de , assim:
E derivando , vamos encontrar:
Sendo assim, substituindo tudo na integral, vamos ter:
E temos uma integral de constante e outra facinha de resolver pela regra da potência ():
Como essa é uma integral indefinida, a gente não pode esquecer de somar a constante de integração no resultado.
Agora vamos voltar pra nossa variável original. Lembra que definimos ? Então, o resultado da nossa integral será de fato:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉