UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 5.5.1b
Resolva as seguintes integrais pelo método da Substituição:
(b) ;
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente resolver a integral pelo método da substituição. Pra isso, a gente precisa identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou que só se diferencia de sua derivada por constantes.
Além disso, a gente pode tentar substituir o argumento de uma função trigonométrica, a própria função trigonométrica, uma função exponencial e o argumento dela, uma função logarítmica e o argumento dela, entre outras. Identificando o caso, vamos chamar essa parte da função de .
Depois nós encontramos o diferencial , derivando e substituir tudo na integral. Daí em diante, basta resolver a integral mais simples que encontramos na substituição e depois voltar pra nossa variável original no resultado.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos olhar nossa integral:
Olha que interessante, a derivada da secante é o produto da secante pela tangente, que é justamente o que nós temos na integral. Então, podemos chamar a secante de assim:
E derivando , vamos encontrar:
Então, divindindo por , ele é igual a todo nosso integrando. Sendo assim, substituindo tudo na integral, vamos ter:
E temos uma integral de constante, facinha de resolver:
Como essa é uma integral indefinida, a gente não pode esquecer de somar a constante de integração no resultado.
Agora vamos voltar pra nossa variável original. Lembra que definimos ? Então, o resultado da nossa integral será de fato:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉