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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

UFSC – Cálculo 2 – Prof. Dr. Romulo Castillo – P1 – 2015/2

2.1 Resolva ∫ d x 3 + sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ d x 3 + sen ⁡ x + cos ⁡ x .

Quando temos seno ou cosseno embaixo assim temos identidades trigonométricas que quase sempre resolve:

sen ⁡ x = 2 tan ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

cos ⁡ x = 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

E depois disso a gente cai numa substituição simples.

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ d x 3 + sen ⁡ x + cos ⁡ x = ∫ d x 3 + 2 tan ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 + 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

= ∫ d x 3 1 + tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 + 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

= ∫ d x 3 + 3 tan 2 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 + 1 - tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2

= ∫ 1 + tan 2 ⁡ x 2 2 tan 2 ⁡ x 2 + 2 tan ⁡ x 2 + 4 d x

= ∫ 1 + tan 2 ⁡ x 2 2 tan 2 ⁡ x 2 + tan ⁡ x 2 + 2 d x

Passo 3

Agora vamos usar substituição simples pra resolver:

u = tan ⁡ x 2

d u = 1 2 sec 2 ⁡ x 2 d x → d u = 1 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 d x

E a integral fica:

∫ 1 + tan 2 ⁡ x 2 2 tan 2 ⁡ x 2 + tan ⁡ x 2 + 2 d x = ∫ d u u 2 + u + 2

Passo 4

Como apareceu esse polinômio do segundo grau embaixo e não tem polinômio do primeiro grau em cima, então vamos fazer as manipulações algébricas pra poder usar:

∫ d t t 2 + 1 = arctan ⁡ t

Completando quadrados:

∫ d u u 2 + u + 2 = ∫ d u u 2 + u + 1 4 + 3 4

= ∫ d u u + 1 2 2 + 3 4

Colocado o 3/4 em evidência porque queremos fazer aparecer um “1”:

= ∫ d u 3 4 u + 1 2 2 3 4 + 1

= 4 3 ∫ d u 4 u + 1 2 2 3 + 1

Passando o 4 e o 3 pra dentro do quadrado:

= 4 3 ∫ d u 2 u + 1 3 2 + 1

Passo 5

Agora precisamos fazer mais uma substituição simples pra deixar com carinha de 1 / ( t 2 + 1 ) :

t = 2 u + 1 3

d t = 2 3 d u → d u = 3 2 d t

Ficamos com:

4 3 ∫ d u 2 u + 1 3 2 + 1 = 4 3 ∫ 3 2 d t t 2 + 1

= 2 3 ∫ d t t 2 + 1

= 2 3 arctan ⁡ t

Como t = 2 u + 1 3 , então:

2 3 arctan ⁡ t = 2 3 arctan ⁡ 2 u + 1 3

E como u = tan ⁡ x , então:

2 3 arctan ⁡ 2 u + 1 3 = 2 3 arctan ⁡ 2 tan ⁡ x + 1 3

Finalmente chegamos na nossa resposta. Só falta adicionar a constante no final porque é uma integral indefinida.

∫ d x 3 + sen ⁡ x + cos ⁡ x = 2 3 arctan ⁡ 2 tan ⁡ x + 1 3 + C

Resposta

2 3 arctan ⁡ 2 tan ⁡ x + 1 3 + C

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x