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Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VF, Q4A

Seja f uma função contínua que não se anula para x ∈ ( 0 , π / 2 ] tal que é satisfeito:

1 2 f 2 x = ∫ 0 x 2 f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + 1 - sin 2 ⁡ u d u - ∫ x x 2 f u sin ⁡ u 1 + cos ⁡ u + 1 - cos 2 ⁡ u d u

  1. Calcule f ( x ) para esse intervalo, se for necessário usar uma integral, aplique primeiro uma substituição e depois uma integral por frações parciais, outros métodos serão desconsiderados.

  2. Calcule f ( π / 2 ) .

Passo 1

Faleis, vós, magníficos. Repara que tá feio que só vamos primeiro ajeitar a expressão dada. Mas no geral uma boa saída para funções integrais é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e derivar de ambos os lados. Como x ∈ ( 0 , π / 2 ] :

1 - sin 2 ⁡ u = cos ⁡ u = cos ⁡ u

1 - cos 2 ⁡ u = sin ⁡ u = sin ⁡ u

Assim:

⇒ 1 2 f 2 x = ∫ 0 x 2 f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u - ∫ x x 2 f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

= ∫ 0 x 2 f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u + ∫ x / 2 x f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

= ∫ 0 x f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, derivamos a equação:

f x f ' x = + f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u u = x ⋅ d x d x

⇒ f x f ' x = f x sin ⁡ x 1 + sin ⁡ x + cos ⁡ x

Como, do enunciado, f não se anula em ( 0 , π / 2 ] , temos:

f ' x = sin ⁡ x 1 + sin ⁡ x + cos ⁡ x

Daí, teremos:

∫ 0 x f ' ( u ) d u = ∫ 0 x sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

⇒ f x - f ( 0 ) = ∫ 0 x sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

Contudo da expressão que obtemos no passo 1, temos:

1 2 f 2 x = ∫ 0 x f u sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

Tal que f 0 = 0 . Disto, resulta:

⇒ f x = ∫ 0 x sin ⁡ u 1 + sin ⁡ u + cos ⁡ u d u

Passo 3

Para somas de cosseno e seno usaremos t = tan ⁡ u / 2 , uma vez que:

sin ⁡ u = 2 tan ⁡ u 2 1 + tan 2 ⁡ u 2 ⇒ sin ⁡ u = 2 t 1 + t 2

cos ⁡ u = 1 - tan 2 ⁡ u / 2 1 + tan 2 ⁡ u / 2 ⇒ cos ⁡ u = 1 - t 2 1 + t 2

E ainda,

d t = 1 2 sec 2 ⁡ u 2 d u = 1 2 ( 1 + tan 2 ⁡ u / 2 ) d u

⇒ d u = 2 d t 1 + t 2

De forma que:

f x = ∫ 0 tan ⁡ x / 2 2 t 1 + t 2 1 + 2 t 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2 2 d t 1 + t 2

= 4 ∫ 0 tan ⁡ x / 2 t 1 + t 2 + 2 t + 1 - t 2 d t 1 + t 2

= 4 ∫ 0 tan ⁡ x / 2 t 2 + 2 t d t 1 + t 2

= 2 ∫ 0 tan ⁡ x / 2 t 1 + t d t 1 + t 2

Pelo método das frações parciais, temos:

f x = 2 ∫ 0 tan ⁡ x / 2 A t + 1 + B t + C t 2 + 1 d t

Onde,

t 1 + t 1 1 + t 2 = A t + 1 + B t + C t 2 + 1

⇒ t = A t 2 + 1 + ( t + 1 ) ( B t + C )

⇒ t = t 2 A + B + t B + C + ( A + C )

Pela identidade polinomial:

A + B = 0 B + C = 1 A + C = 0 ⇒ A = - 1 / 2 B = 1 / 2 C = 1 / 2

Assim,

f x = 2 ∫ 0 tan ⁡ x / 2 - 1 / 2 t + 1 + t / 2 + 1 / 2 t 2 + 1 d t

= ∫ 0 tan ⁡ x / 2 - 1 t + 1 + t t 2 + 1 + 1 t 2 + 1 d t

= - ln ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ t 2 + 1 + arctan ⁡ t 0 tan ⁡ x 2

= ln ⁡ t 2 + 1 | t + 1 | + arctan ⁡ t 0 tan ⁡ x 2

= ln ⁡ tan 2 ⁡ x 2 + 1 | tan ⁡ x 2 + 1 | + x 2

Como x ∈ ( 0 , π / 2 ] , temos tan ⁡ x / 2 , sec ⁡ x / 2 > 0 , logo:

f ( x ) = ln ⁡ | sec ⁡ x 2 | | tan ⁡ x 2 + 1 | + x 2

= ln ⁡ sec ⁡ x 2 tan ⁡ x 2 + 1 + x 2

= ln ⁡ 1 sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + x 2

= - ln ⁡ sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + x 2

Resposta

Dessa forma, em x ∈ 0 , π 2 , temos:

f ( x ) = - ln ⁡ sin ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + x 2

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