Seja uma função contínua que não se anula para tal que é satisfeito:
- Calcule para esse intervalo, se for necessário usar uma integral, aplique primeiro uma substituição e depois uma integral por frações parciais, outros métodos serão desconsiderados.
- Calcule .
Passo 1
Faleis, vós, magníficos. Repara que tá feio que só vamos primeiro ajeitar a expressão dada. Mas no geral uma boa saída para funções integrais é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e derivar de ambos os lados. Como :
Assim:
Passo 2
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, derivamos a equação:
Como, do enunciado, não se anula em , temos:
Daí, teremos:
Contudo da expressão que obtemos no passo 1, temos:
Tal que . Disto, resulta:
Passo 3
Para somas de cosseno e seno usaremos , uma vez que:
E ainda,
De forma que:
Pelo método das frações parciais, temos:
Onde,
Pela identidade polinomial:
Assim,
Como , temos , logo:
Resposta
Dessa forma, em , temos: